Question

15．已知数列{b_n}是等比数列，${b_n}={2^{{a_n}-1}}$且a₁=2，a₃=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设公比为q，由题意得：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{{a}_{n+1}-1}}{{2}^{{a}_{n}-1}}$=${2}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=q，即a_n+1-a_n=log₂q．可得{a_n}为等差数列，即可得出．
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ．可得$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{a_n}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}$，利用“错位相减法“与等比数列的求和公式．

解答 解：（1）设公比为q，由题意得：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{{a}_{n+1}-1}}{{2}^{{a}_{n}-1}}$=${2}^{{a}_{n+1}-{a}_{n}}$=q，即a_n+1-a_n=log₂q．
所以{a_n}为等差数列，又$d=\frac{{{a_3}-{a_1}}}{2}=1$，a₁=2．
所以${a_n}=n+1，n∈{N^*}$．
（2）由（1）得：b_n=2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{a_n}{2^n}=\frac{n+1}{2^n}$，
∴数列$\left\{{\frac{a_n}{b_n}}\right\}$的前n项和S_n=$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}+\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$，
∴${S_n}=3-\frac{n+3}{2^n}$．

点评 本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．