Question

12．已知Rt△ABC，斜边BC?α，点A∈α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A-BC-O的大小．

Answer 1

分析 在α内过O作OD⊥BC，连结AD，推导出BC⊥AD，从而∠ADO为二面角A-BC-O的平面角，解Rt△ADO，能求出结果．

解答 解：如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连结AD，
设OC=a，∵AO⊥α，BC?α，
∴AO⊥BC，又∵AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD，
∵AD?平面AOD，∴AD⊥BC，
∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角，
∵AO⊥α，OB?α，OC?α，∴AO⊥OB，AO⊥OC，
又∠ABO=30°，∠ACO=45°，∴AO=a，AC=$\sqrt{2}a$，AB=2a，
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{6}a$，∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{2a•\sqrt{2}a}{\sqrt{6}a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}a$，
在Rt△AOD中，sin∠ADO=$\frac{AO}{AD}=\frac{a}{\frac{2\sqrt{3}}{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADO=60°．
∴二面角A-BC-O的大小是60°．

点评 本题考查二面角的求法，是中档题，解题基本步骤为“一作二证三求”，解题时要注意顶点位置的合理选择．