Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x+m），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的增区间；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，-4≤f（x）≤4恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量积的关系，建立f（x）的关系式，化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；x∈[0，π]，k去不同的值，可得在x∈[0，π]的单调递增区间．（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，求出f（x）的取值最大值和最小值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）由题意：向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x+m）
f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-1．
=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x+m-1
=1+cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+m-1
=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+m
∵$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$是单调递增区间，
解得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$kπ+\frac{π}{6}$（k∈Z）
∵x∈[0，π]
∴当k=0时，$0≤x≤\frac{π}{6}$是单调递增区间，
当k=1时，$\frac{2π}{3}≤x≤π$是单调递增区间，
故得f（x）在x∈[0，π]上的增区间是[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x$+\frac{π}{6}$）+m
当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，2x$+\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]
当2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取值最大值为2+m．
当2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，函数f（x）取值最小值为1+m．
要使-4≤f（x）≤4恒成立，
需要满足：$\left\{\begin{array}{l}{-4≤1+m}\\{2+m≤4}\end{array}\right.$成立．
解得：-5≤m≤2．
故得实数m的取值范围是[-5，2]．

点评 本题考查了向量的数量积的计算和三角函数的化简能力以及三角函数性质的运用解决恒成立问题．属于中档题．