Question

14．已知函数f（x）是定义在[a-a²，a+3]（a＞0）的偶函数，且当x≥0时单调递增，f（1）=0，则f（lnx）＞0的解集为[e^-6，e^-1）∪（e，e⁶]．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质利用定义域关于原点对称求出a的值，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：∵函数是偶函数，∴定义域关于原点对称，
则a-a²+a+3=0，
即a²-2a-3=0，即a=3或a=-1（舍），
即函数的定义域为[-6，6]，
∵当x≥0时单调递增，f（1）=0，
∴f（lnx）＞0等价为f（lnx）＞f（1），
即f（|lnx|）＞f（1），
则1＜|lnx|≤6，
即-6≤lnx＜-1或1＜lnx≤6，
得e^-6≤x＜e^-1或e＜x≤e⁶，
故答案为：[e^-6，e^-1）∪（e，e⁶]

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的定义和性质将不等式进行转化是解决本题的关键．