Question

12．某人上一段有9级的楼梯，如果一步可以上一级，也可以上二级或三级，则他共有多少种不同的上楼方法？
（提示：设按照一步可以上一级，也可以上二级或三级的方法走到第n级阶梯时的不同上楼方法有a_n种．先写出数列{a_n}的递推关系式，再计算a₉．）

Answer 1

分析 按照一步可以上一级，也可以上二级或三级的方法求出上1级、2级、3级、4级楼梯的方法种数，归纳可得a_n+3=a_n+2+a_n+1+a_n，由此可得上9级楼梯的所有方法种数．

解答 解：若只上1级楼梯，上法a₁=1（种）；
若上2级楼梯，上法a₂=2（种）（一步一级或一步两级）；
若上3级楼梯，上法a₃=4（种）（一步一级或第一步一级第二步两级或第一步两级第二步一级或一步三级）；
若上4级楼梯，上法a₄=7（种）（分第一步上一级，第一步上两级、第一步上三级三类办法求解），则有a₄=a₃+a₂+a₁=4+2+1=7（种）；
同理a₅=a₄+a₂+a₃=13（种）；
a₆=a₅+a₄+a₃=24（种）；
a₇=a₆+a₅+a₄=44（种）；
a₈=a₇+a₆+a₅=81（种）；
a₉=a₈+a₇+a₆=149（种）．

点评 本题考查加法原理和乘法原理，考查了数列递推式的确定，属中档题．