Question

已知函数f（x）满足f（0）=2，且对任意实数x，f（x）-f′（x）＞1恒成立，则f（x）＞e^x+1的解集为

 

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Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：设h（x）=e^-x•f（x）-e^-x-1，则不等式f（x）＞e^x+1的解集就是 h（x）＞0 的解集．由此利用导数性质能求出不等式f（x）＞e^x+1的解集．

解答： 解：设h（x）=e^-x•f（x）-e^-x-1，
则不等式f（x）＞e^x+1同解于e^-x•f（x）＞e^-x+1，
不等式f（x）＞e^x+1的解集就是 h（x）＞0 的解集．
h（0）=1×2-1-1=0，
h′（x）=-e^-x[f（x）-f′（x）]+e^-x，
∵[f（x）-f′（x）]＞1，
∴对于任意 x∈R，
e^-x[f（x）-f′（x）]＞e^-x，
∴h′（x）=-e^-x[f（x）-f′（x）]+e^x＜0．
即h（x）在实数域内单调递减．
∵h（0）=0，
∴当 x＜0 时，f（x）＞0；当 x＞0 时，f（x）＜0．
∴不等式f（x）＞e^x+1的解集为：{x|x＜0}．
故答案为：（-∞，0）．

点评：本题考查不等式的解集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．