Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$（e为自然对数的底数，e=2.71828…）．
（1）证明：函数f（x）为奇函数；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性，再根据结论确定f（m²-m+1）+f（-$\frac{3}{4}$）与0的大小关系；
（3）是否存在实数k，使得函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[ke^a，ke^b]．若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义，可判断函数f（x）为奇函数；
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在R上为增函数，利用导数法可证明结论，进而判断出f（m²-m+1）+f（-$\frac{3}{4}$）≥0；
（3）若函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[ke^a，ke^b]．则$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=ke^x在R上有两个不等实根，进而得到实数k的取值范围．

解答 解：（1）证明：函数f（x）定义域为R，…（1分）
对于任意的x∈R，都有f（-x）=$\frac{{e}^{-x}-1}{{e}^{-x}+1}$=$\frac{1-{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在R上为增函数，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{{2e}^{x}}{{（e}^{x}+1）^{2}}$＞0恒成立，
∴f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$在R上为增函数，…（7分）
∵${m^2}-m+1={（m-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$
∴f（m²-m+1）≥f（-$\frac{3}{4}$）=-f（$\frac{3}{4}$），
∴f（m²-m+1）+f（-$\frac{3}{4}$）≥0…（10分）
（3）∵f（x）为R上的增函数且函数f（x）在定义域[a，b]上的值域为[ke^a，ke^b]．
∴k＞0且$\left\{\begin{array}{l}f（a）={ke}^{a}\\ f（b）={ke}^{b}\end{array}\right.$，
$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}+1}$=ke^x在R上有两个不等实根；…（12分）
令t=e^x，t＞0且单调增，问题即为方程kt²+（k-1）t+1=0在（0，+∞）上有两个不等实根，
设h（t）=kt²+（k-1）t+1，
则$\left\{\begin{array}{l}（k-1）^{2}-4k＞0\\-\frac{k-1}{k}＞0\\ h（0）=1＞0\end{array}\right.$，解得：0＜k＜3-2$\sqrt{2}$…（16分）

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，函数的定义域值域，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．