Question

已知向量

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），ω＞0，函数f(x)=

a

•

b

-

1

2

，其最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若f(

A

2

)=1，b=1，S_△ABC=

3

，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可表示出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；
（2）由f（

A

2

）=1以及（1）确定出的解析式，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinA，以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），ω＞0，
∴函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

=cos²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1

2

（1+cos2ωx）+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），
∵T=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
则f（x）的增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）；
（2）由f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）=1，得到A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，b=1，
∴c=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16-4=13，
则a=

13

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．