Question

对于定义域为D的函数，若同时满足下列条件：①在D内单调递增或单调递减；②存在区间[]，使在[]上的值域为[]；那么把（）叫闭函数。

（Ⅰ）求闭函数符合条件②的区间[]；（Ⅱ）判断函数是否为闭函数？并说明理由；

（Ⅲ）若是闭函数，求实数的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，在[]上递减， 则    解得所以，所求的区间为[-1，1]       （Ⅱ）

解：取则，即不是上的减函数。…………6分

     取    ，   即不是上的增函数         所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。     （Ⅲ）解：若是闭函数，则存在区间[]，

在区间[]上，函数的值域为[]，即，为方程的两个实数根即方程有两个不等的实根。当时，有，

     解得       当时，有，无解       

 综上所述，