Question

【题目】如图1，在平行四边形中，，，，、分别为、的中点，现把平行四边形1沿折起如图2所示，连接、、．

（1）求证：；

（2）若，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，，，根据条件可得，为正三角形，则，，可得平面从而得证；

（2）由勾股定理可得，以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，分别求得平面AB1C和平面A1B1A的法向量，由法向量求二面角的余弦即可，从而得正弦值.

试题解析：

证明：（1）取的中点，连接，，，

∵在平行四边形中，，，，

、分别为、的中点，

∴，为正三角形，

则，，又∵，

∴平面，

∵平面

∴；

（2）∵，，，、分别为、的中点，

∴，，

∵，则，

则三角形为直角三角形，则，

以为原点，以，，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

则

则，，，

设平面的法向量为，

则，

令，则，，

则，

设平面的法向量为，则，

令，则，，即，

则

∴二面角的正弦值是.