Question

【题目】设函数. 若曲线y=在点P(e,f(e))处的切线方程为y=2x-e（为自然对数的底数）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) 当时，≥（当且仅当a=b时取等号）.

【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）等价于证明f（a）+f（b）﹣2f（）＞0，变形表达式为，构造函数，研究函数的单调性使得最小值大于0即可.

解析：

（Ⅰ）函数的定义域为.

.

依题意得，即

所以.

所以，.

当时, ; 当时, .

所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.

（Ⅱ）当时，.

等价于，

也等价于

不妨设，

设（）,

则.

当时，，所以函数在上为增函数，

即，

故当时，（当且仅当时取等号）.

令，则，

即（当且仅当时取等号），

综上所述，当时，≥（当且仅当a=b时取等号）.