Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分别是A₁B、B₁C₁的中点．
（1）求证：MN⊥平面A₁BC；
（2）求直线BC₁和平面A₁BC所成角的大小；
（3）求二面角A-BC-A₁的平面的余弦值；
（4）求点B₁到平面A₁BC的距离．

Answer 1

分析 （1）由BC⊥AC，BC⊥CC₁，则BC⊥平面ACC₁A₁，连接AC₁，则BC⊥AC₁．侧面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．又BC∩A₁C=C，根据线面垂直的判定定理可知AC₁⊥平面A₁BC，因为侧面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中点，连接AB₁，则点M是AB₁的中点，又点N是B₁C₁的中点，则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁，从而MN⊥平面A₁BC；
（2）根据AC₁⊥平面A₁BC，设AC₁与A₁C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C₁BD为直线BC₁和平面A₁BC所成角，设AC=BC=CC₁=a，求出C₁D，BC₁，在Rt△BDC₁中，求出∠C₁BD，即可求出所求．
（3）由题意，∠A₁CA为二面角A-BC-A₁的平面角；
（4）由等体积可得点B₁到平面A₁BC的距离．

解答 （1）证明：由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁．连接AC₁，则BC⊥AC₁．
由已知，侧面ACC₁A₁是矩形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC．
因为侧面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中点，连接AB₁，则点M是AB₁的中点．
又点N是B₁C₁的中点，则MN是△AB₁C₁的中位线，所以MN∥AC₁．
故MN⊥平面A₁BC．
（2）解：因为AC₁⊥平面A₁BC，设AC₁与A₁C相交于点D，
连接BD，则∠C₁BD为直线BC₁和平面A₁BC所成角．
设AC=BC=CC₁=a，则C₁D=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，BC₁=$\sqrt{2}$a．
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD=$\frac{1}{2}$，
所以∠C₁BD=30°，故直线BC₁和平面A₁BC所成的角为30°．
（3）解：由题意，∠A₁CA为二面角A-BC-A₁的平面角，
由于AC=BC=CC₁=a，∴cos∠A₁CA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角A-BC-A₁的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（4）解：设点B₁到平面A₁BC的距离为h，则由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a•\sqrt{2}a•h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}a•\sqrt{2}a•\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∴$h=\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成角、二面角的度量，考查点到平面距离的计算，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．