Question

【题目】某企业在第年年初购买一台价值为万元的设备，的价值在使用过程中逐年减少从第年到第年，每年年初的价值比上年年初减少万元；从第年开始，每年年初的价值为上年年初的.

(1)求第年年初的价值的表达式．

(2)设，若大于万，则继续使用；否则，必须在第年年初对更新．

①求；

②证明：必须在第年年初对更新．（若是递减数列，也是递减数列）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②见解析

【解析】

（1）根据等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式，求得的表达式.

（2）①当时，利用等差数列的前项和公式，求得，进而求得；当时，利用，求得.

②根据是递减数列，计算的值，由此证得必须在第年年初对更新.

（1）当时，数列是首项为，公差为的等差数列，；

当时，数列是以为首项，公比为的等比数列，又，所以,

因此，第年年初的价值的表达式为

(2) ①设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得

当时，，；

当时，由于，故，，

②因为是递减数列，所以也是递减数列．

又，，

所以必须在第年年初对进行更新．