题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。
【答案】(1)见解析;(2);(3)
【解析】
(1)先证明(2) 建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角大小为.(3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值为.
(1)设交点为,连接.
因为平面,平面平面,所以.
因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点.
(2)取的中点,连接,.
因为,所以.
又因为平面平面,且平面,所以平面.
因为平面,所以.
因为是正方形,所以.
如图建立空间直角坐标系,则,,,
,.
设平面的法向量为,则,即.
令,则,.于是.
平面的法向量为,所以.
由题知二面角为锐角,所以它的大小为.
(3)由题意知,,.
设直线与平面所成角为,则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
练习册系列答案
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