题目内容

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.

(1)求证:MPB的中点;

(2)求二面角B-PD-A的大小;

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正炫值。

【答案】(1)见解析;(2);(3)

【解析】

(1)先证明(2) 建立空间直角坐标系,利用向量法求二面角大小为.(3)利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值为.

(1)设交点为,连接.

因为平面平面平面,所以.

因为是正方形,所以的中点,所以的中点.

(2)取的中点连接.

因为,所以.

又因为平面平面,且平面,所以平面.

因为平面,所以.

因为是正方形所以.

如图建立空间直角坐标系

.

设平面的法向量为.

.于是.

平面的法向量为所以.

由题知二面角为锐角,所以它的大小为.

(3)由题意知.

设直线与平面所成角为,则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

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