Question

设函数f（x）=（

1

2

）^|x|，x∈R
（1）请画出函数f（x）的大致图象；
（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）化为分段函数，可作出图象；或者先做出x≥0时的函数图象，再根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，作出x＜0的图象．
（2）若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，只要（f（x）+f（2x））_min≤k对于任意的x∈R恒成立即可，将f（x）的解析式代入，利用换元法转化为二次函数求最值即可．

解答： 解（1）∵f（x）=（

1

2

）^|x|

( 1 2 )x，x≥0 ( 1 2 )-x=2x，x＜0

则函数的图象如图所示；

（2）∵f（x）=（

1

2

）^|x|，
∴f（2x）=（

1

2

）^|2x|，
∵不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立
令t=（

1

2

）^|x|=t∈（0，1]，则y=t²+t（0＜t≤1）
∵对称轴t=-

1

2

，则当t=1时，y_max=2，
∴k≥2

点评：本题考查含有绝对值的函数的图象的做法和不等式恒成立为题，题目难度不大，属基本题型，基本方法的考查．