题目内容
已知P是椭圆
+
=1上第一象限内任一点，过点P作圆x2+y2=16的两条切线PA、PB（点A、B是切点），直线AB分别交x轴、y轴于点MN，则△MON的面积S△MON（O是坐标原点）的最小值是（ ）
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
A、
| ||
| B、14 | ||
C、
| ||
D、
|
考点：圆与圆锥曲线的综合
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则PA、PB的方程分别为x1x+y1y=16，x2x+y2y=16，而PA、PB交于P（x0，y0），由此能求出AB的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．
解答：
解：设A（x1，y1），B（x2，y2）
则PA、PB的方程分别为x1x+y1y=16，x2x+y2y=16，
而PA、PB交于P（x0，y0），
即x1x0+y1y0=16，x2x0+y2y0=16，
∴AB的直线方程为：x0x+y0y=16，
∴M（
，0），N（0，
），
∴S△MON=
|OM|•|ON|=|
|，
∵|x0y0|=20|
•
|≤10（
+
）=10，
∴S△MON≥
，
当且仅当
=
时，△MON的面积的最小值为
，
故选：A．
则PA、PB的方程分别为x1x+y1y=16，x2x+y2y=16，
而PA、PB交于P（x0，y0），
即x1x0+y1y0=16，x2x0+y2y0=16，
∴AB的直线方程为：x0x+y0y=16，
∴M（
| 16 |
| x0 |
| 16 |
| y0 |
∴S△MON=
| 1 |
| 2 |
| 128 |
| x0y0 |
∵|x0y0|=20|
| x0 |
| 5 |
| y0 |
| 4 |
| x02 |
| 25 |
| y02 |
| 16 |
∴S△MON≥
| 64 |
| 5 |
当且仅当
| x0 |
| 5 |
| y0 |
| 4 |
| 64 |
| 5 |
故选：A．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．
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