设f-用数学归纳法证明f(n)≥3.在假设n=k时成立后.f的关系是f•$\frac{}{1+\frac{1}{k}}$．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．设f（n）=（1+$\frac{1}{n}$）（1+$\frac{1}{n+1}$）…（1+$\frac{1}{n+n}$）用数学归纳法证明f（n）≥3，在假设n=k时成立后，f（k+1）与f（k）的关系是f（k+1）=f（k）•$\frac{（1+\frac{1}{2k+1}）（1+\frac{1}{2k+2}）}{1+\frac{1}{k}}$．

分析分别求出n=k时左边的式子，n=k+1时左边的式子，用n=k+1时左边的式子，除以n=k时左边的式子，即得所求．

解答解：∵f（k）=（1+$\frac{1}{k}$）（1+$\frac{1}{k+1}$）…（1+$\frac{1}{k+k}$），f（k+1）=（1+$\frac{1}{k+1}$）（1+$\frac{1}{k+2}$）…（1+$\frac{1}{k+1+k-1}$）（1+$\frac{1}{k+1+k}$）（1+$\frac{1}{k+1+k+1}$），
∴f（k+1）=f（k）•$\frac{（1+\frac{1}{2k+1}）（1+\frac{1}{2k+2}）}{1+\frac{1}{k}}$，
故答案为：$\frac{（1+\frac{1}{2k+1}）（1+\frac{1}{2k+2}）}{1+\frac{1}{k}}$．

点评本题考查数学归纳法，考查数学归纳法中的推理，确定n=k到n=k+1变化了的项是解题的关键．

练习册系列答案

2．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数	38	39	40	41	42
天数	20	40	20	10	10

乙公司送餐员送餐单数频数表

送餐单数	38	39	40	41	42
天数	10	20	20	40	10

（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

19．设（2x+1）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₅（x+1）⁵则a₄=80．

6．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M、N分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，BC=AC=CC₁，则CN与AM所成角的余弦值等于（　　）

A．

$\frac{2}{5}$

B．

$\frac{\sqrt{30}}{10}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

D．

$\frac{\sqrt{70}}{10}$

16．已知直线y=x+2交椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）于A、B两点．
（I）求椭圆C的离心率的取值范围；
（Ⅱ）设M为C上区别于A、B的任意一点，且$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点），λ²+μ²=1，求a的值．

3．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．
（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）
（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：

学生序号i	1	2	3	4	5	6	7
数学成绩x_i	60	65	70	75	85	87	90
物理成绩y_i	70	77	80	85	90	86	93

（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；
若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？
附：回归直线的方程是：$\widehat{y}=bx+a$，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，a=$\overline{y}-b\overline{x}$．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$
76	83	812	526

20．给出下列四个命题：
①命题“?x∈R，x²＞0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②函数y=f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），其图象上任一点P（x，y）满足x²-y²=1，则函数y=f（x）可能是奇函数；
③若a，b∈[0，1]，则不等式a²+b²＜$\frac{1}{4}$成立的概率是$\frac{π}{4}$
④函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）恒为正，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{5}{2}$）．
其中真命题的序号是①②④．（请填上所有真命题的序号）

1．设集合A={x|x≥-1}，B={x|y=$\sqrt{3{x}^{2}+5x-2}$}，则A∩∁_RB等于（　　）

A．

{x|-1≤x$＜\frac{1}{3}$}

B．

{x|-$\frac{1}{3}＜x＜2$}

C．

{x|-1$≤x≤\frac{1}{3}$}

D．

{x|-$\frac{1}{3}≤x≤2$}

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