Question

19．如图，在四面体P-ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，PC⊥底面ABCD，AB⊥BP，BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）已知E是PA上一点，且BE∥平面PCD．若PC=2，求点E到平面ABCD的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AC交BD于O，利用线线垂直得到线面垂直，即可证明PA⊥BD；
（2）当E为PA的中点时，BE∥平面PCD，并证明，并得到点E到平面ABCD的距离等于$\frac{1}{2}$PC，问题得以解决．

解答 解：（1）证明：连接AC交BD于O，
∵PC⊥BP，BP∩CP=P，
∴PC⊥AB，
∵AB⊥BP，BP∩CP=P，
∴AB⊥平面PBC，
∴AB⊥BC，
∵BC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠BAC=30°，
∵∠ABD=60°，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∵PC⊥BD，
∴BD⊥平面ACP，
∵AP?平面APC，
∴PA⊥BD，
（2）取AD的中点F，连接BF，EF，
当E为PA的中点时，BE∥平面PCD，证明如下，
∵AB=BD，
∴BF⊥AD，
有（1）的BC=CD，则CD⊥AD，
∴EF∥CD，
∵E为PA的中点，
∴EF∥PD，
∴平面BEF∥平面PCD，
∵BE?平面BEF，
∴BE∥平面PCD，
∵PC⊥底面ABCD，
∴点E到平面ABCD的距离等于$\frac{1}{2}$PC=1

点评 本题考查直线 与平面垂直的判定，直线与直线平行，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．