Question

7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面中，最大的面积是（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
• B． $3\sqrt{6}$
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据三视图画出三棱锥P-ABC的直观图，并做出辅助线，由三视图求出棱长、判断出线面位置关系，由勾股定理求出其它棱长，判断该三棱锥的四个面中最大的面，由三角形的面积公式求出答案．

解答 解：根据三视图画出三棱锥P-ABC的直观图如图所示：
过A作AD⊥BC，垂足为D，连结PD，
由三视图可知，PA⊥平面ABC，
且BD=AD=1，CD=PA=2，
∴BC=3，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
同理可求AC=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{6}$，PC=3，
∴△PBC是该三棱锥的四个面中最大的面积，
∴△PBC的面积S=$\frac{1}{2}•BC•AD$=$\frac{1}{2}×3×\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查三视图求几何体的表面积，以及线面垂直的关系判断、应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．