Question

15．已知二次函数f（x）=x²-（m-1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-2，0）
• B． （-1，0）
• C． （-2，-1）
• D． [-2，0]

Answer 1

分析 若△=0，则只需验证0≤$\frac{m-1}{2}$≤1是否成立即可，若△＞0，则讨论零点是否为0或1，若不是则令f（0）•f（1）＜0解出．

解答 解：△=（m-1）²-8m=m²-10m+1，
（1）若△=m²-10m+1=0，即m=5±2$\sqrt{6}$，则此时f（x）=0的解为x=2±$\sqrt{6}$∉[0，1]，
（2）若△=m²-10m+1＞0，即m＜5-2$\sqrt{6}$或m＞5+2$\sqrt{6}$，
①若f（x）在[0，1]上的零点为x=0，即f（0）=0，解得m=0，
②若f（x）在[0，1]上的零点为x=1，即f（1）=0，解得m=-2．
③若f（x）在[0，1]上的零点既不是0，也不是1
则f（0）•f（1）＜0，
即2m²+4m＜0，解得-2＜m＜0．
综上，m的取值范围是[-2，0]．
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的零点与系数的关系，对△进行讨论是解题的常用方法．