Question

【题目】已知函数，其中为常数且.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时， ， ，若存在，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】 (1) ；（2）当时, 在上单调递减,在上单调弟增;当时, 在、上单调递增，在上单调递减.（3）.

【解析】试题分析：（1）当时，求函数的导数，以及和，利用公式求解；（2）求函数的导数并化解为，分和，两种情况讨论函数的单调性，（3）当时，根据条件可将问题转化为，即根据（2）求的最小值和求函数的最大值，求实数的取值范围.

试题解析：(1)当时， ，

=

切线的斜率，又，

故切线的方程为，即

（2）且,

()当时, ,

当时, ;当时, .

故在上单调递减,在上单调递增

()当， 有两个实数根，

且,故时, 时

时, .

故在上均为单调增函数,在上为减函数.

综上所述,当时, 在上单调递减,在上单调弟增;当时, 在

、上单调递增，在上单调递减.

（3）当时，由（2）知， 又

， 在上为增函数. .依题意有.

故的取值范围为.