Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；

(2)若不过原点的直线与椭圆相交于两点，与直线相交于点，且是线段的中点，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为；（2）面积的最大值为：.

【解析】试题分析：（1）将坐标代入椭圆方程，与离心率联立方程组解得（2）先根据点差法求AB斜率，再设AB点斜式方程，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式求弦长AB，根据点到直线距离公式得三角形的高，代入三角形面积公式，最后根据基本不等式求最值.

试题解析：(1) 由椭圆C:的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为.

(2)易得直线的方程为.

当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在.

设直线的方程为,与联立消得

,

所以.

设,则,.

由,所以的中点,

因为在直线上，所以,解得

所以,得,且,

又原点到直线的距离,

所以，

当且仅当时等号成立，符合,且.

所以面积的最大值为：.