Question

12．已知圆柱形罐头盒的容积是V（定数），问它的高与底面半径多大时罐头盒的表面积最小？

Answer 1

分析 设半径为R，高为h，根据圆柱的体积公式求出半径和高的关系，求出罐头盒的表面积最，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

解答 解：V=πR²H，H=V/（πR²） S=2πR²+2πRH=2πR²+2πRV/（πR²）=2πR²+2V/R，S'=4πR-2V/R²，S'=0，4πR-2V/R²=0，R³=V/（2π），R=[V/（2π）]开立方，H=V/（πR²）=2R=[V/（2π）]开立方×2，（高=2×底面半径）．
设半径为R，高为h，
则由圆柱的体积公式得πR²h=V，
即h=$\frac{V}{π{R}^{2}}$，
则底面积为2πR²，侧面积：2πRh=2πR•$\frac{V}{π{R}^{2}}$=$\frac{2V}{R}$，
则表面积S=2πR²+$\frac{2V}{R}$，
则函数的导数S′=4πR-$\frac{2V}{{R}^{2}}$=$\frac{4π{R}^{3}-2V}{{R}^{2}}$，
由y′=0，得4πR³=2V，即R³=$\frac{V}{2π}$，即R=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$，
即当R＞$\root{3}{\frac{V}{2π}}$时，S′＞0，当0＜R＜$\root{3}{\frac{V}{2π}}$时，S′＜0，
即当R=$\root{3}{\frac{V}{2π}}$时，函数取得极小值同时也是最小值．此时罐头盒的表面积最小，
此时高h=$\frac{V}{π{R}^{2}}$=$\frac{V}{π（\root{3}{\frac{V}{2π}}）^{2}}$．

点评 本题主要考查生活中的优化问题，根据条件求出函数的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．