Question

7．某调研机构调取了当地2014年10月～2015年3月每月的雾霾天数与严重交通事故案例数资料进行数据统计分析，以备下一年如何预防严重交通事故作参考，部分资料如下：

时间	14年10月	14年11月	14年12月	15年1月	15年2月	15年3月
雾霾天数	7	11	13	12	10	8
严重交通事故案例数	14	25	29	26	22	16

该机构的研究方案是：先从这六组数中剔除2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被剔除的2组数据进行检验，若由线性回归方程得到的估计数据与所剔除的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是合情的．
（1）求剔除的2组数据不是相邻2个月数据的概率；
（2）若剔除的是2014年10月与2015年2月这两组数据，请你根据其它4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（3）①根据（2）所求的回归方程，求2014年10月与2015年2月的严重交通事故案例数；
②判断（2）所求的线性回归方程是否是合情的．
[附：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}xy-x\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\overline{a}$=$\overrightarrow{y}$-b$\overrightarrow{x}$]．

Answer 1

分析 （1）本题是一个古典概型，确定试验发生包含的事件、满足条件的事件的种数，根据古典概型的概率公式得到结果．
（2）根据所给的数据，求出x，y的平均数，根据求线性回归方程系数的方法，求出系数b，把b和x，y的平均数，代入求a的公式，做出a的值，写出线性回归方程．
（3）根据所求的线性回归方程，预报当自变量为10和7时的y的值，把预报的值同原来表中所给的10和7对应的值做差，差的绝对值不超过2，得到线性回归方程理想

解答 解：（1）设抽到不相邻两个月的数据为事件A，
∵从6组数据中选取2组数据共有${C}_{6}^{2}$=15种情况，每种情况是等可能出现的，
其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，
故A事件共包含10种不同的情况，
∴P（A）=$\frac{10}{15}$=$\frac{2}{3}$；
（2）由数据求得：$\overline{x}$=11，$\overline{y}$=24，
由公式求得$\hat{b}$=$\frac{18}{7}$，由$\hat{a}$=$\overline{y}$-$\hat{b}$$\overline{x}$=-$\frac{30}{7}$，
∴y关于x的线性回归方程为：$\hat{y}$=$\frac{18}{7}$x-$\frac{30}{7}$，
（3）①当x=7时，$\hat{y}$=$\frac{96}{7}$，
同样，当x=10时，$\hat{y}$=$\frac{150}{7}$，
②∵|$\frac{96}{7}$-14|=$\frac{2}{7}$＜2，
|$\frac{150}{7}$-22|=$\frac{4}{7}$＜2，
所以该线性回归方程是合情的．

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查等可能事件的概率，考查线性分析的应用，考查解决实际问题的能力，是一个综合题目．