Question

15．如图，棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁B₁的中点
（1）求证：B₁C₁∥平面A₁BC；
（2）求三棱锥A₁-BPC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由B₁C₁∥BC，能证明B₁C₁∥平面A₁BC．
（2）由${V_{{A_1}-BP{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}BP}}，高为{C_1}{B_1}=2$，能求出三棱锥A₁-BPC₁的体积．

解答 证明：（1）如图，∵棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∴B₁C₁∥BC，
∵B₁C₁?平面ABC，BC?平面PBC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC；…（6分）（没写B₁C₁?平面ABC，扣两分）
解：（2）∵${V_{{A_1}-BP{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}BP}}，高为{C_1}{B_1}=2$，
${S_{{A_1}B{P_1}}}=\frac{1}{2}{A_1}P×B{B_1}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴${V_{{A_1}-BP{C_1}}}={V_{{C_1}-{A_1}BP}}=\frac{1}{3}×1×2=\frac{2}{3}$，
∴三棱锥A₁-BPC₁的体积为$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．