Question

如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在直线上.

(1)求AD边所在直线的方程;

(2)求矩形ABCD外接圆的方程;

(3)若动圆P过点N(-2,0),且与矩形ABCD的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.

Answer 1

解：（1）因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为-3.又因为点T（-1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.

（2）由解得A的坐标为（0，-2），因为矩形ABCD两条对角线交点为M（2，0），所以M为矩形ABCD外接圆圆心，又|AM|=，从而矩形ABCD外接圆的方程为（x-2）²+y²=8.

（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆半径，又∵动圆P与圆M外切，∴|PM|=|PN|+2，即|PM|-|PN|=2.

故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为22的双曲线左支.

∵a=,c=2,∴b²=2.故所求轨迹方程为

=1(x≤-).