Question

已知函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，且f（1-x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=1-x，函数
g（x）=log₅|x|．
（1）判断函数g（x）=log₅|x|的奇偶性； 
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x+2）=f（x）；
（3）在同一坐标系中作出f（x）与g（x）的大致图象并判断其交点的个数．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数的奇偶性定义判断并证明，得到本题结论；（2）利用函数的奇偶性、对称性、周期性与函数解析式的关系，可判断比哦的周期性，也可辅助画图观察，得到本题结论；（3）先画出部分函数图象，再根据函数的奇偶性、周期性画出函数在定义域内的草图，观察图象交点，得到本题结论．

解答： （1）判断结论：g（x）为偶函数．以下证明．
证明：∵g（x）=log₅|x|，
∴x≠0．
∴对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，∞），
g（-x）=log₅|-x|）=log₅|x|=g（x），
∴函数g（x）为偶函数；
（2）∵函数f（x）是定义在实数R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∵f（1-x）=f（1+x），
∴f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1-（x+1）]=f（-x）=f（x）．
故原命题得证．
（3）∵g（x）=log₅|x|，
∴y=g（x）的图象过点（1，0），（5，1），关于y轴对称，
∴如图可知：f（x）与g（x）大致有8个交点．

点评：本题考查了函数的单调性、奇偶性，本题难度不大，属于基础题．