Question

1．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．

Answer 1

分析 （I）用x，y表示出cosθ，sinθ，根据正余弦的平方和等于1消参数得到普通方程；
（II）写出直线l的参数方程，代入曲线的普通方程得到关于参数t的一元二次方程，根据参数的几何意义解出AB．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），∴cosθ=$\frac{x}{2}$，sinθ=$\frac{y}{\sqrt{3}}$，∴$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（II）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
将l的参数方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$得7t²+22$\sqrt{2}$t+14=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁+t₂=-$\frac{22\sqrt{2}}{7}$，t₁t₂=2．
∴t₁，t₂符号相同．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{22\sqrt{2}}{7}）^{2}-8}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程在求距离中的应用，属于基础题．