Question

1．如图所示，已知正方形ABCD所在平面垂直于矩形ACEF所在平面，AB=2，AF=1，
（1）求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；
（2）M为AB的中点，试在线段EF上找一点P，使平面PCD与平面PCM相互垂直．

Answer 1

分析 （1）连接BD，交AC于H，由面面垂直的性质定理，即可得到∠DFH即为直线DF和平面ACEF所成的角，计算即可得到所成的角；
（2）以C为坐标原点，CD，CB，CE所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（2，0，0），C（0，0，0），M（1，2，0），设P（x，x，1），平面PCD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（m，n，k），平面PCM的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（u，v，s），由向量垂直的条件，解方程可得一个法向量，再由面面垂直的定义，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求点P．

解答 解：（1）连接BD，交AC于H，
由DH⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，
可得DH⊥平面ACEF，
∠DFH即为直线DF和平面ACEF所成的角，
在直角△DFH中，DH=$\sqrt{2}$，HF=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
DF=$\sqrt{5}$，
即有直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$；
（2）以C为坐标原点，CD，CB，CE所在的直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
D（2，0，0），C（0，0，0），M（1，2，0），
设P（x，x，1），平面PCD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（m，n，k），平面PCM的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（u，v，s），
$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（x，x，1），$\overrightarrow{CM}$=（1，2，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{mx+nx+k=0}\\{2m=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，-x），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{ux+vx+s=0}\\{u+2v=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（-2，1，x），
由平面PCD与平面PCM相互垂直，等价为$\overrightarrow{{n}_{1}}$•$\overrightarrow{{n}_{2}}$=0，
即有1-x²=0，解得x=1．PE=$\sqrt{2}$，
即P为线段EF的中点，使平面PCD与平面PCM相互垂直．

点评 本题考查直线和平面所成角的求法，以及面面垂直的判定定理的运用，考查空间直线和平面的位置关系，注意运用坐标法的运用，考查运算能力，属于中档题．