Question

【题目】如图，与等边所在的平面相互垂直，，为线段中点，直线与平面交于点.，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)由条件可得平面，则，又为等边三角形可得，从而可得平面，从而得证.
(2)由条件可得平面，即得到，所以为的中点，以中点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系,用向量法求二面角的余弦值.

（1）证明：因为平面平面，且两平面交于，，

所以平面，则.

又因为为等边三角形，为线段中点，

所以.

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面

（2）解：因为，平面，且平面，

所以平面，因为平面平面，

所以，所以为的中点.

以中点为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，如图.

根据已知可得：，，，，

所以，，

设平面的法向量，

由可得

取，则，，

所以平面的一个法向量，

由（Ⅰ）得平面，

所以平面的一个法向量，

设二面角的大小为，

所以，

所以二面角的平面角的余弦为.