Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）已知函数的两个极值点，若，①证明：；②证明： ．

Answer 1

【答案】（1）情况较多，见详解，（2）证明见详解

【解析】

（1）求出，然后分，，三种情况讨论

（2）①由即可证明；②用分析法得到要证原命题即证，然后设，利用导数得到在单调递减，结合可得当时，当时，然后即可证明.

（1）由已知

①当时，，所以，所以函数在上单调递增

②当时，在上有两不等正实数根

记

当时，，单调递增

当时，，单调递减

当时，，单调递增

③当时，

所以当时，，单调递减

当时，，单调递增

（2）①的定义域为，有两个极值点

则在上有两个不等正根

由（1）中可得

因为，所以，所以

②原命题即证明当且，时成立

即证，即证

即证，即证

设

则

当时，在单调递减

因为，所以当时，当时

又因为时，当时

所以，原命题得证