Question

【题目】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．

（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G．证明：点G在定直线上．

（2）若p＝2，点M在曲线y上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ面积的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设，，根据条件分别求出直线PG的方程，QG的方程，联立可得，化简得到点G在定直线上．

（2）设，表示出的面积．结合在曲线y上，即可求出面积的取值范围．

（1）证明：易知，设，．

由题意可知直线l的斜率存在，故设其方程为．

由，得，所以．

由，得，，则，

直线PG的方程为，即①.

同理可得直线QG的方程为②.

联立①②，可得．

因为，所以，故点G在定直线上．

（2）设，

，的中点分别为，．

因为，得中点均在抛物线上，

所以，为方程的解，

即方程的两个不同的实根，

则，，

，即，

所以的中点的横坐标为，纵坐标为.

则，

，

所以的面积．

由，得，

所以，

因为，所以，

所以面积的取值范围为．