Question

【题目】已知函数（）.

（1）若恒成立，求a的取值范围；

（2）若，证明：在有唯一的极值点x，且.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】

（1）计算得到，再证明当（）时，，先证明（），讨论和两种情况，计算得到证明.

（2）求导得到，，得到存在唯一实数，使，存在唯一实数，使，得到，得到证明.

（1）由，得，即，解得，，

以下证明，当（）时，.

为此先证：（）.

若，则；

若，则.

令（），可知，函数单调递增，

故，即（），

综上所述：（）.

若（），则当时，，

故，即；

当时，，由（），

得.

故当（）时，.

综上，所求a的取值范围是.

（2），令，

，∵，∴是上的增函数，

又，，

故存在唯一实数，使，当时，，递减；当时，，递增.

又，则，，，

∴，，.

故存在唯一实数，使.

当时，，递减；

当时，，递增.

所以在区间有唯一极小值点，且极小值为.

又由，得，

∴.

又.

以下只需证明，即证，.

∵，∴.

则，所以.