Question

已知椭圆C：

x2

25

+

y2

16

=1，过直线x=

25

3

上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B．M为椭圆C的右顶点，则∠AMB的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：我们考虑最极端的情况．可以想到，最大值在当P在x轴上，当P离x轴无限远时，∠AMD无限接近

π

2

，但是取不到，即可得出结论．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
我们考虑最极端的情况．
可以想到，最大值在当P在x轴上，此时切线方程为

x1x

25

+

y1y

16

=1，

x2x

25

+

y2y

16

=1，
代入（

25

3

，0），可得直线AB的方程为x=3．
此时A（3，3.2），所以∠AMB=2arctan

3.2

5-3

=2arctan1.6；
当P离x轴无限远时，∠AMD无限接近

π

2

，但是取不到．
综上∠AMB的取值范围是（

π

2

，2arctan（1.6）]．
故答案为：（

π

2

，2arctan（1.6）]．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查极端思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．