Question

    如图，在四棱锥P-ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点．

   （I）求证；平面EAC⊥平面PBC;

   （II）若二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

解：

（I）∵PC⊥平面ABCD，AC^平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，

∴AC²＋BC²＝AB²，∴AC⊥BC，

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC^平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．                          

(II)如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．

设P(0，0，a)（a＞0），则E(，－，)，    

＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，

＝(，－，)，

取m＝(1，－1，0)，则

m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．

设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，

即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，

依题意，|cosm，n|＝＝＝，则a＝1． 

于是n＝(1，－1，－2)，＝(1，1，－2)．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，

则sinθ＝|cos，n|＝，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．