Question

13．如图，已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{4}$+y²=1，曲线C₂：y=x²-1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C₂相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂
（1）求k₁k₂的值；
（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S₁，S₂，若$\frac{S_1}{S_2}$=λ，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设过原点的直线l：y=tx，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-ty-1=0，从而求出$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=0，由此能求出k₁k₂．
（2）设直线MA：y=k₁x-1，直线MB：y=-$\frac{1}{{k}_{1}}$x-1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得A（${k}_{1}，{{k}_{1}}^{2}-1$），联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得D（$\frac{8{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$，$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$），同理，得B（-$\frac{1}{{k}_{1}}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1），E（$\frac{-8{k}_{1}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4-{{k}_{1}}^{2}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$），由此能求出λ的取值范围．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（x₃，y₃），E（x₄，y₄），过原点的直线l：y=tx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=tx}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得x²-ty-1=0，
$\overrightarrow{MA}$=（x₁，y₁+1），$\overrightarrow{MB}$=（x₂，y₂+1），
$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$=x₁x₂+（y₁+1）（y₂+1）=（t²+1）x₁x₂+t（x₁+x₂）+1=0，
∴$\overrightarrow{MA}$⊥$\overrightarrow{MB}$，
∴k₁k₂=-1．
（2）设直线MA：y=k₁x-1，直线MB：y=-$\frac{1}{{k}_{1}}$x-1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{y={x}^{2}-1}\end{array}\right.$，得A（${k}_{1}，{{k}_{1}}^{2}-1$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得D（$\frac{8{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$，$\frac{4{{k}_{1}}^{2}-1}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$），
同理，得B（-$\frac{1}{{k}_{1}}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$-1），E（$\frac{-8{k}_{1}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4-{{k}_{1}}^{2}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$），
$\overrightarrow{MA}$=（${k}_{1}，{k}_{1}{\;}^{2}$），$\overrightarrow{MB}$=（-$\frac{1}{{k}_{1}}$，$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$），$\overrightarrow{MD}$=（$\frac{8{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$，$\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$），$\overrightarrow{ME}$=（$\frac{-8{k}_{1}}{4+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{8}{4+{{k}_{1}}^{2}}$），
∴S₁=$\frac{1}{2}$|${k}_{1}+\frac{1}{{k}_{1}}$|，S₂=$\frac{1}{2}$|$\frac{8{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$×$\frac{8}{4+{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$×$\frac{8{k}_{1}}{4{{+k}_{1}}^{2}}$|=$\frac{32|{k}_{1}|（{{k}_{1}}^{2}+1）}{（4{{k}_{1}}^{2}+1）（4+{{k}_{1}}^{2}）}$，
∴λ=$\frac{（4{{k}_{1}}^{2}+1）（{{k}_{1}}^{2}+4）}{64{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{64}$（4k₁²+$\frac{4}{{{k}_{1}}^{2}}$+17）≥$\frac{25}{64}$．
当且仅当$4{{k}_{1}}^{2}=\frac{4}{{{k}_{1}}^{2}}$，即k₁=±1时，取等号，
∴λ的取值范围[$\frac{25}{64}$，+∞）．

点评 本题考查两直线的斜率乘积的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．