Question

3．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，抛物线y=$\frac{1}{16}$x²+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1．

Answer 1

分析 根据双曲线的焦距以及渐近线和抛物线的相切关系建立方程求出a，b的值即可．

解答 解：∵双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦距为2$\sqrt{5}$，
∴2c=2$\sqrt{5}$，则c=$\sqrt{5}$，
双曲线的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，不妨设y=$\frac{b}{a}$x，
∵抛物线y=$\frac{1}{16}$x²+1与双曲线C的渐近线相切，
∴由y=$\frac{1}{16}$x²+1=$\frac{b}{a}$x，得$\frac{1}{16}$x²-$\frac{b}{a}$x+1=0，得判别式△=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-4×$\frac{1}{16}$=0，
即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，则a²=4b²，
即a²=4b²=4（c²-a²）=20-4a²，
则a²=4，b²=1，即双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程关系求出a，b，c是解决本题的关键．