Question

已知函数f（x）=x-

1

x

-alnx
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，过A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））的直线斜率为k=2-a能否成立．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；
（2）假设存在a，使得k=2-a，根据（1）利用韦达定理求出直线斜率为k，根据（1）函数的单调性，推出矛盾，即可解决问题．

解答： 解解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=1+

1

x2

-

a

x

=

x2-ax+1

x2

，
令g（x）=x²-ax+1，△=a²-4，
①当-2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＜-2时，△＞0，g（x）=0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
③当a＞2时，△＞0，g（x）=0的两根为x₁=

a- a2-4

2

，x₂=

a+ a2-4

2

，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0；当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＜0；当x＞x₂时，f′（x）＞0；
故f（x）分别在（0，

a- a2-4

2

），（

a+ a2-4

2

，+∞）上单调递增，在（

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

）上单调递减．
（2）由（I）知，a＞2．
因为f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+

x1-x2

x1x2

-a（lnx₁-lnx₂），
所以k═1+（

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=1+

1

x1•x2

-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
又由（1）知，x₁x₂=1．于是
k=2-a•

lnx1-lnx2

x1-x2

，
若存在a，使得k=2-a，则

lnx1-lnx2

x1-x2

=1，即lnx₁-lnx₂=x₁-x₂，
亦即 x₂-

1

x2

-2lnx₂=0，（x₂＞1）（*）
再由（1）知，函数h（t）=t-

1

t

-2lnt在（0，+∞）上单调递增，
而x₂＞1，
所以x₂-

1

x2

-2lnx₂＞1-1-2ln1=0，这与（*）式矛盾，
故不存在a，使得k=2-a．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值问题，对方程f'（x）=0有无实根，有实根时，根是否在定义域内和根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．属于难题．