Question

1．知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${S_n}=2{a_n}-2（{n∈{N^*}}）$，数列{b_n}为等差数列，且满足b₂=a₁，b₈=a₃．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）令${c_n}=1-{（{-1}）^{n+1}}{a_n}$，关于k的不等式${c_k}≥4097（{1≤k≤100，k∈{N^*}}）$的解集为M，求所有a_k+b_k（k∈M）的和S．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}满足${S_n}=2{a_n}-2（{n∈{N^*}}）$，当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1，即可得出．设等差数列{b_n}的公差为d，可得b₂=a₁，b₈=a₃．可得b₁+d=2，b₁+7d=2³，解出即可得出．
（II）${c_n}=1-{（{-1}）^{n+1}}{a_n}$=1+（-2）ⁿ，b_n=n．当k为奇数时，c_k=1-2^k≥4097，即2^k≤-4096，不成立．当k为偶数时，c_k=1+2^k≥4097，即2^k≥4096．可得M={k|k=2m，6≤m≤50，m∈N⁺}．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}满足${S_n}=2{a_n}-2（{n∈{N^*}}）$，∴当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化为：a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₂=a₁，b₈=a₃．
∴b₁+d=2，b₁+7d=2³，
解得b₁=d=1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
（II）${c_n}=1-{（{-1}）^{n+1}}{a_n}$=1+（-2）ⁿ，b_n=n．
当k为奇数时，c_k=1-2^k≥4097，即2^k≤-4096，不成立．
当k为偶数时，c_k=1+2^k≥4097，即2^k≥4096．
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，2¹²=4096．且1≤k≤100，k∈N⁺．
∴M={k|k=2m，6≤m≤50，m∈N⁺}．
则{a_k}组成首项为2¹²，末项为2¹⁰⁰，公比为4的等比数列．
{b_k}组成首项为12，末项为100，公差为2的等差数列．
则所有a_k+b_k（k∈M）的和S=$\frac{{2}^{12}（{4}^{45}-1）}{4-1}$+$\frac{45×（12+100）}{2}$=$\frac{{2}^{102}+3464}{3}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．