在直角坐标系中.椭圆C1:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左.右焦点分别为F1.F2.其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点.点P为C1与C2在第一象限的交点.且$|P{F 2}|=\frac{5}{3}$．(Ⅰ)求椭圆的方程,(Ⅱ)过F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M.N两点.若线段OF2上存在定点T(t.0)使得以TM.TN为邻边的四边形是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．在直角坐标系中，椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点P为C₁与C₂在第一象限的交点，且$|P{F_2}|=\frac{5}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M、N两点，若线段OF₂上存在定点T（t，0）使得以TM、TN为邻边的四边形是菱形，求t的取值范围．

分析（Ⅰ）由椭圆的右焦点是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点P为C₁与C₂在第一象限的交点，且$|P{F_2}|=\frac{5}{3}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设MN中点为D（x₀，y₀），由题意知TD⊥MN，设直线MN的方程为x=my+1，联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由根的判断式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件，能求出t的取值．

解答解：（Ⅰ）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），$|P{F_2}|={x_p}+1=\frac{5}{3}$，∴${x_p}=\frac{2}{3}$，
∴${y_p}=\frac{2}{3}\sqrt{6}$，∴$P（\frac{2}{3}，\frac{2}{3}\sqrt{6}）$，
又F₂（1，0），∴F₁（-1，0），
∴$|P{F_1}|+|P{F_2}|=\frac{7}{3}+\frac{5}{3}=4$，∴a=2，
又∵c=1，∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程是：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）设MN中点为D（x₀，y₀），∵以TM、TN为邻边的四边形是菱形，
∴TD⊥MN，
设直线MN的方程为x=my+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∵F₂在椭圆内，∴△＞0恒成立，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{-6m}{{3{m^2}+4}}$，
∴${y_0}=\frac{-3m}{{3{m^2}+4}}$，∴${x_0}=m{y_0}+1=\frac{4}{{3{m^2}+4}}$，
∴k_TD•k_MN=-1，即$\frac{{\frac{-3m}{{3{m^2}+4}}}}{{\frac{4}{{3{m^2}+4}}-t}}=-m$，
整理得$t=\frac{1}{{3{m^2}+4}}$，
∵m²＞0，∴3m²+4∈（4，+∞），∴$t∈（0，\frac{1}{4}）$，
∴t的取值范围是$（0，\frac{1}{4}）$．