Question

已知椭圆4x²+3y²=3，抛物线的开口向上，且其顶点在椭圆C的中心，焦点为椭圆的一个焦点F．点P为抛物线上的一点，PC垂直于直线，垂足为C，已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B．
（Ⅰ）求使△PCF为等边三角形的点P坐标．
（Ⅱ）是否存在点P，使P平分线段AB，若存在求出点P，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：由题意知，．抛物线方程为x²=2y，设．
（Ⅰ）由题设知|PF|=|PC|，∠CFO=∠PFC=60°．故，所以或．
（Ⅱ），由PF⊥AB知，，则．由此可知存在点P，使P平分线段AB．
解答：解：由4x²+3y²=3得，，
所以，即．
则，即p=1，故抛物线方程为x²=2y，即．可设．（3分）
（Ⅰ）由知，是抛物线x²=2y的准线，故|PF|=|PC|，由△PCF为等边三角形知，∠CFO=∠PFC=60°．
故，即，即，解得或．即或．
故或．（6分）
（Ⅱ），由PF⊥AB知，，则．
令y=0得，，即，，
令x=0得，，即，．（10分）
若P平分线段AB，则有且，
解得x²=5，即．
故存在点，使P平分线段AB．（13分）
点评：圆锥曲线的综合大题，主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力．除了2004年出现了两道大题（其中有一题以圆锥曲线的应用题形式出现）外，基本上是每年一道大题．除了2006年以函数的面貌，基本上还是以常态的形式出现，即以直线与圆锥曲线的位置关系的形式出现．值得引起重视的一个现象是，经常出现一条或几条直线与两种圆锥曲线（包括圆）的位置关系问题，同时要注意其与平面向量以及导数的知识的综合命题．