Question

已知椭圆4x²+3y²=3，抛物线的开口向上，且其顶点在椭圆C的中心，焦点为椭圆的一个焦点F．点P为抛物线上的一点，PC垂直于直线y=-

1

2

，垂足为C，已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B．
（Ⅰ）求使△PCF为等边三角形的点P坐标．
（Ⅱ）是否存在点P，使P平分线段AB，若存在求出点P，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：由题意知y2+

x2

( 3 2 )2

=1，F(0，

1

2

)．抛物线方程为x²=2y，设P(x0，

1

2

x02)．
（Ⅰ）由题设知|PF|=|PC|，∠CFO=∠PFC=60°．故|x0|=|CF|sin60°=|PC|sin60°=(

1

2

x02+

1

2

)sin60°，所以P(±

3

3

，

1

6

)或P(±

3

，

3

2

)．
（Ⅱ）kPC=

1 2 x02- 1 2

x0

=

x02-1

2x0

，由PF⊥AB知，kAB=-

2x0

x02-1

，则AB：y=-

2x0

x02-1

(x-x0)+

1

2

x02．由此可知存在点P，使P平分线段AB．

解答：解：由4x²+3y²=3得，y2+

x2

( 3 2 )2

=1，
所以F(0，

12-( 3 2 )2

)，即F(0，

1

2

)．
则

p

2

=

1

2

，即p=1，故抛物线方程为x²=2y，即y=

1

2

x2．可设P(x0，

1

2

x02)．（3分）
（Ⅰ）由

p

2

=

1

2

知，y=-

1

2

是抛物线x²=2y的准线，故|PF|=|PC|，由△PCF为等边三角形知，∠CFO=∠PFC=60°．
故|x0|=|CF|sin60°=|PC|sin60°=(

1

2

x02+

1

2

)sin60°，即|x0|=

3

4

(x02+1)，即

3

x02-4|x0|+

3

=0，解得|x0|=

3

3

或|x0|=

3

．即x0=±

3

3

或x0=±

3

．
故P(±

3

3

，

1

6

)或P(±

3

，

3

2

)．（6分）
（Ⅱ）kPC=

1 2 x02- 1 2

x0

=

x02-1

2x0

，由PF⊥AB知，kAB=-

2x0

x02-1

，则AB：y=-

2x0

x02-1

(x-x0)+

1

2

x02．
令y=0得，

2x0

x02-1

(x-x0)=

1

2

x02，即x=

1

4

(x03+3x0)，A(

1

4

(x03+3x0)，0)，
令x=0得，y=-

2x0

x02-1

(-x0)+

1

2

x02，即y=

x02(x02+3)

2(x02-1)

，B(0，

x02(x02+3)

2(x02-1)

)．（10分）
若P平分线段AB，则有

1

4

(x03+3x0)=2x0且

x02(x02+3)

2(x02-1)

=x02，
解得x₀²=5，即x0=±

5

．
故存在点P(±

5

，

5

2

)，使P平分线段AB．（13分）

点评：圆锥曲线的综合大题，主要考查解析几何的有关知识，以及分析问题与解决问题的能力．除了2004年出现了两道大题（其中有一题以圆锥曲线的应用题形式出现）外，基本上是每年一道大题．除了2006年以函数的面貌，基本上还是以常态的形式出现，即以直线与圆锥曲线的位置关系的形式出现．值得引起重视的一个现象是，经常出现一条或几条直线与两种圆锥曲线（包括圆）的位置关系问题，同时要注意其与平面向量以及导数的知识的综合命题．