Question

已知椭圆4x²＋3y²＝3，抛物线的开口向上，且其顶点在椭圆C的中心，焦点为椭圆的一个焦点F．点P为抛物线上的一点，PC垂直于直线l：，垂足为C，已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B．

(1)是否存在点P，使△PCF为等腰直角三角形，若存在求出点P，若不存在说明理由；

(2)是否存在点P，使P平分线段AB，若存在求出点P，若不存在说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由得，，所以，即． 　　则，即，故抛物线方程为，即． 　　由知，是抛物线的准线，故． 　　假设存在点P，使△PCF为等腰直角三角形，则，即，而．故与重合，即轴，这与直线AB不垂直x轴矛盾．因此，不存在点P，使△PCF为等腰直角三角形． 　　(Ⅱ)设，， 　　由知，，则． 　　令得，，即，， 　　令得，，即，　　10分 　　若P平分线段AB，则有且，解得，即． 　　故存在点，使P平分线段AB　　13分