Question

【题目】已知函数，.

（1）若在区间上单调递增，求m的取值范围；

（2）求在区间上的最小值；

（3）讨论在区间上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数有2个零点，当或时，函数有1个零点.

【解析】

（1）求出函数的对称轴，根据函数的单调性求出m的范围即可；

（2）通过讨论m的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最小值即可.

（3）结合二次函数的实根分布即可求解

（1）由题意，函数开口向上，对称轴的方程为，

若使得函数在上单调递增，则满足，解得，

即实数m的取值范围.

（2）①当即时，函数在区间单调递增，

所以函数的最小值为；

②当，即时，

函数在区间单调递减，在区间上单调递增，

所以函数的最小值为；

③当即时，函数在区间单调递减，

所以函数的最小值为，

综上可得，函数的最小值为.

（3）因为函数的对称轴方程为，且恒成立，

①当，即时，函数在区间上有2个零点；

②当，此时m不存在；

③当，此时m不存在；

④当，即，解得或时，函数在区间上有1个零点.

综上可得：当时，函数在区间上有2个零点，

当或时，函数在区间上有1个零点.