Question

【题目】已知集合为平面内的一个有限点集, 为平面内的一个正三角形,集合,且.若对任意满足条件的集合S,均可以被正三角形的两个平移图形覆盖,证明:集合可以被正三角形的两个平移图形覆盖.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明两个引理

引理1 若两个三角形、正同位相似,且三角形与三角形的三条边所在的直线相交,则三角形位于三角形之中此命题显然成立

引理2 对任何有限点集和任何三角形,均可以找到一个与三角形正同位相似的三角形,使得三角形包含点集,且在三角形的每条边上均有点集中的点

引理2的证明

显然存在包含点集且与三角形正同位相似的三角形,考虑其中的一个.若在其某条边上没有点集中的点,则通过作以边所对顶点为中心的位似变换将其缩小,使得该边与点集相交,并且缩小后的三角形仍然包含点集,对各条边均如此操作,即可得到所需的三角形.

引理2得证

综合两个引理,知三角形的任何包含点集M的同位相似图形一定包含三角形.

将引理2运用于点集和正三角形,得到一个三角形,不妨称之为.在边上分别有点集X中的点,其中,有些点可能重合

若的大小不超过三角形,则题中结论成立.否则,考虑、、,其中, 是以A为中心所作的的位似图形,其大小与三角形相同,其余两个三角形的定义类似.因而,它们均为三角形的平移图形.

再考虑点集X的如下子集:

,

,

.

再证明一个引理

引理3若三角形的某个平移图形包含点,则图形就不可能与相交.对于其余情形也有类似的结论

引理3的证明

假设命题不真,于是,三角形与各条边的直线相交.从而,它包含.而三角形与是全等的三角形,故它们重合.因此,由的定义知三角形不可能与之相交.

引理3得证

对三角形T和集合,运用引理2得到三角形、三角形、三角形,且在它们的边上可找到分别属于集合的点(可能有些点相互重合).

由题意,知点集

可被三角形T的某两个平移图形所覆盖故必有一个平移图形至少盖住中的两个点,不妨设.

据引理3,知三角形不可能与集合X相交.从而,点均含于另一个三角形中.再由引理1,知集合被包含于三角形之中,这表明,集合X被和三角形所覆盖.