Question

已知函数f（x）=ax+

a-1

x

-lnx-1，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导后根据导数正负判定单调性并求极值（Ⅱ）恒成立问题转化为最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-lnx-1，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
令f'（x）＞0得x＞1，则函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），
令f'（x）＜0得0＜x＜1，则函数f（x）的单调减区间为（0，1），
则函数f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．
（Ⅱ）依题意有：f_min（x）≥0，x∈[1，+∞）
f′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

ax2-x-(a-1)

x2

=

(ax+(a-1))(x-1)

x2

=

a(x+ a-1 a )(x-1)

x2

，
①当

1-a

a

≤1即a≥

1

2

时，
f'（x）≥0，x∈[1，+∞），
则f（x）在[1，+∞）单调递增，
则f_min（x）=f（1）=a+a-1-1=2a-2≥0，
解得：a≥1，
②当

1-a

a

＞1即0＜a＜

1

2

时，
函数f（x）在[1，

1-a

a

]单调递减，在[

1-a

a

，+∞)单调递增，
则fmin(x)=f(

1-a

a

)＜f(1)=2a-2＜-1＜0，不合题意．
综上所述：正数a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查了利用导数求单调区间及极值，同时考查了恒成立问题及讨论的思想．