Question

5．已知A，B是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1实轴的两个顶点，P是双曲线上的任意一点，若直线PA，PB的斜率乘积k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，则该双曲线的离心率e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

Answer 1

分析 设出点的坐标，求出斜率，将点的坐标代入方程，结合k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，即可求得结论．

解答 解：由题意，设A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
∴k_PA•k_PB=$\frac{y}{x+a}•\frac{y}{x-a}$=$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∵k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴e²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，得到$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$是解题的关键．