Question

15．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₅=7S₂，a_2n+2=2a_n（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+b_n}是首项为1，公比为q的等比数列，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）通过设等差数列{a_n}的公差为d，利用S₅=7S₂、a₁+d+2=2a₁计算可知a₁=-1、d=-3，进而可得结论；
（Ⅱ）通过a_n=-3n+2裂项可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），并项相加可知$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{3n+1}$，分q是否为1两种情况讨论即可．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₅=7S₂，
∴5a₁+10d=14a₁+7d，即d=3a₁，
又∵a_2n+2=2a_n（n∈N^*），
∴a₁+d+2=2a₁，即d+2=a₁，
∴3a₁+2=a₁，即a₁=-1，
∴d=3a₁=-3，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=-1-3（n-1）=-3n+2；
（Ⅱ）∵a_n=-3n+2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（-3n+2）（-3n-1）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{3n+1}$）=$\frac{n}{3n+1}$，
又∵数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$+b_n}是首项为1、公比为q的等比数列，
∴当q≠1时，$\frac{n}{3n+1}$+T_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$，即T_n=$\frac{1-{q}^{n}}{1-q}$-$\frac{n}{3n+1}$；
当q=1时，$\frac{n}{3n+1}$+T_n=n，即T_n=$\frac{3{n}^{2}}{3n+1}$；
于是数列{b_n}前n项和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{n}^{2}}{3n+1}，}&{q=1}\\{\frac{1-{q}^{n}}{1-q}-\frac{n}{3n+1}，}&{q≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．