Question

10．若直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x²+y²=4相交于A，B两点，当OA⊥OB（O是坐标点）时，ab的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 当OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为$\sqrt{2}$，由此利用基本不等式，能求出ab的最大值．

解答 解：直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x²+y²=4相交于A，B两点，当OA⊥OB（O是坐标点）时，
则圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴a²+b²=$\frac{1}{2}$，
∴2ab≤a²+b²=$\frac{1}{2}$，∴ab≤$\frac{1}{4}$，
∴ab的最大值为$\frac{1}{4}$，
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档试题，本题中OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为$\sqrt{2}$是解答本题的关键．