题目内容

19．某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：

假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；
（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率．

分析 （Ⅰ）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．

解答 解：（Ⅰ）由各小矩形面积和为1，
得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，
解得a=0.015，
由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20-30箱，
故s12＞s22．
（II）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；
事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；
事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．
则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．
∴P（C）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）=0.42．
∴甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率0.42．

点评 本题考查离散型随机变量的方差，频率分布直方图，独立重复试验概率的求法，考查计算能力，属于中档题．

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